字竟芳,号秋纫,别号壬叔,生于海宁硖石镇。9岁起对数学发生强烈兴趣,约17岁时应试落第,从此潜心研究数学。当时西方近代数学尚未传入中国,李善兰通过独立研究,在中国传统数学垛积术的根限方法基础上,发明尖锥术,创立各种三角函数和对数函数的幂级展开式。之后,在尖锥术基础上建立的对数论以及为解决三角自乘垛的求知问题提出来的一个恒等式,引起国际数学界的普遍重视。

    咸丰二年(1852年),李善兰应墨海书店伟烈亚力邀请,来上海居住大境阁帮助翻译西方深奥算学等科学著作。历时4年,译成《几何原本》后7卷。又与伟烈亚力合作翻译英国数学家棣么甘《代数学》,这是中国第一部符号代数学译本；又译了美国罗密士有关解析几何、微积分的高等数学教科书《代数微积拾级》,首次把高等数学引进中国。他译的《重学》、《谈天》、《植物学》等都是首次引进中国的西方近代科技学说。在大境阁,李善兰翻译出版的西方科技著作6部,共86卷,数量之多,内容之广,在当时中国学者中首屈一指。

    同治七年(1868年),李善兰被聘为同文馆数学总教习。任职10余年,授徒百余人,知名的如胡玉麟、席淦、熊方桓、江槐庭等。这些学员在传播西方近代科学知识方面都起过重要作用。